Question

已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）若E是側(cè)棱PC的中點(diǎn)，求證：PA∥平面BDE；
（3）若E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)，不論點(diǎn)E在何位置，是否都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）更加所給的三視圖得到該四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，根據(jù)四棱錐的體積公式做出幾何體的體積．
（2）根據(jù)見到中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法，連接AC交BD于F，則F為AC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線與底邊平行，得到線與面的平行關(guān)系，再寫出不屬于這個(gè)平面，得到線與面平行．
（3）先寫出結(jié)論，再證明這個(gè)結(jié)論，要證不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE，只要證明BD⊥平面PAC，且不論點(diǎn)E在何位置，都有AE?平面PAC，得到結(jié)論．

解答：解：（1）由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，
側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，
∴V_P-ABCD=

1

3

S_ABCD•PC=

1

3

×1×2=

2

3

（2）證明：連接AC交BD于F，則F為AC的中點(diǎn)，
∵E為PC的中點(diǎn)，
∴PA∥EF，
又PA?平面BDE內(nèi)，
∴PA∥平面BDE
（3）不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE
證明：連接AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC
∵PC⊥底面ABCD且BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC
又AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC，
∵不論點(diǎn)E在何位置，都有AE?平面PAC
∴不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)典型的立體幾何的題目，從三視圖開始，考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面，注意最后一問的解答格式，需要先得到結(jié)論，再證明結(jié)論，兩個(gè)環(huán)節(jié)不能缺少．