Question

【題目】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足：，，當(dāng)時(shí)，，且，，成等比數(shù)列，.

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）求證：數(shù)列中的項(xiàng)都在數(shù)列中；

（3）將數(shù)列、的項(xiàng)按照：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，放在前面：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，放在前面進(jìn)行“交叉排列”，得到一個(gè)新的數(shù)列：，，，，，，…這個(gè)新數(shù)列的前和為，試求的表達(dá)式.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

【解析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，即可由基本量計(jì)算求得首項(xiàng)與公差，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和；根據(jù)等比中項(xiàng)定義，結(jié)合數(shù)列的前n項(xiàng)和，代入化簡(jiǎn)可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）根據(jù)數(shù)列，的通項(xiàng)公式，即可證明數(shù)列中的項(xiàng)都在數(shù)列中；

（3）由數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入由裂項(xiàng)求和法可得的前n項(xiàng)和，再對(duì)分類討論，即可確定新數(shù)列的前和的表達(dá)式.

（1）為等差數(shù)列，設(shè)公差為，

，，

所以，解得，

所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得；

等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，

所以，

當(dāng)時(shí)，，且，，成等比數(shù)列，.

所以，

則，即，

化簡(jiǎn)可得，當(dāng)時(shí)也成立，

所以.

（2）證明：由（1）可知，，

則，

所以數(shù)列中的項(xiàng)都在數(shù)列中；

（3）由（1）可知，

則，

所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)（）時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)也成立，

當(dāng)時(shí)，，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.