Question

【題目】某校舉行環(huán)保知識(shí)大獎(jiǎng)賽，比賽分初賽和決賽兩部分，初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次選題答題的機(jī)會(huì)，選手累積答對(duì)3題或打錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽：答對(duì)3題者直接進(jìn)入初賽，打錯(cuò)3題者則被淘汰.已知選手甲答對(duì)每個(gè)問(wèn)題的概率相同，并且相互之間沒(méi)有影響，答題連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為.

（1）求選手甲可進(jìn)入決賽的概率.

（2）設(shè)選手甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)為，試求的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】（1）P（2）見解析

【解析】試題分析： 設(shè)選手甲任答一題，正確的概率為，根據(jù)甲答對(duì)每個(gè)問(wèn)題的概率相同，并且相互之間沒(méi)有影響，答題連續(xù)兩次打錯(cuò)的概率為，列出關(guān)于的方程，得到甲答對(duì)題目的概率，選手甲能夠進(jìn)入決賽包括兩種情況，這兩種情況是互斥的，由互斥事件的概率公式計(jì)算得到答案；

的取值為， ， ，對(duì)應(yīng)的事件分別是前三個(gè)題全部答對(duì)，前四個(gè)題答對(duì)了三個(gè)，其中第四題一定對(duì)，前五個(gè)題答對(duì)了三個(gè)，第五個(gè)一定答對(duì)，分別求出它們的概率，列出分布列，求出期望；

解析：（1）設(shè)選手甲任答一題，正確的概率為，依題意， ，

選手甲可進(jìn)入決賽的概率 .

（2）隨機(jī)變量所有可能取值為， ， ，

依題意，

，

，

故隨機(jī)變量的分布列為：

.