Question

（12分）已知橢圓C：以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，點(diǎn)M是橢圓C上異于A，B的任意一點(diǎn)．
①求證：直線MA，MB的斜率之積為定值；
②若直線MA，MB與直線x＝4分別交于點(diǎn)P，Q，求線段PQ長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

（1）（2）①證明見(jiàn)解析②

試題分析：(1)易知雙曲線的焦點(diǎn)為(－2,0)，(2,0)，離心率為，……2分
則在橢圓C中a＝2，e＝，
故在橢圓C中c＝，b＝1，所以橢圓C的方程為               ……4分
(2)①設(shè)M(x₀，y₀)(x₀≠±2)，由題易知A(－2,0)，B(2,0)，
則k_MA＝，k_MB＝，故k_MA·k_MB＝＝，        ……6分
點(diǎn)M在橢圓C上，則，即，
故k_MA·k_MB＝，即直線MA，MB的斜率之積為定值。                      ……8分
②解法一：設(shè)P(4，y₁)，Q(4，y₂)，則k_MA＝k_PA＝，k_MB＝k_BQ＝，……9分
由①得，即y₁y₂＝－3，當(dāng)y₁>0，y₂<0時(shí)，|PQ|＝|y₁－y₂|≥2 ＝，當(dāng)且僅當(dāng)y₁＝，y₂＝－時(shí)等號(hào)成立．……11分
同理，當(dāng)y₁<0，y₂>0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，y₂＝時(shí)，|PQ|有最小值. ……12分
解法二：設(shè)直線MA的斜率為k，則直線MA的方程為y＝k(x＋2)，從而P(4,6k) ……9分
由①知直線MB的斜率為，則直線MB的方程為y＝(x－2)，
故得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即|PQ|有最小值.                                                  ……12分
點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目是每年高考必考的題目，且一般都以壓軸題的形式出現(xiàn)，所以難度較大，關(guān)鍵是運(yùn)算量比較大，要盡量應(yīng)用數(shù)形結(jié)合簡(jiǎn)化運(yùn)算，還要細(xì)心求解.