已知是二次函數(shù)，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）是否存在自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出的集合；若不存在，說(shuō)明理由.

 

【答案】

（I）

（II）存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

【解析】(I)是二次函數(shù)，且的解集是可設(shè)

因?yàn)閒(x)的對(duì)稱軸為,所以可確定在區(qū)間上的最大值是據(jù)此可得到關(guān)于a的方程，從而得到f(x)的解析式．

(II) 方程等價(jià)于方程設(shè)

然后再根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性和極值，最值畫(huà)出其草圖從圖上分析解決即可．

（I）是二次函數(shù)，且的解集是

可設(shè)在區(qū)間上的最大值是

由已知，得（4分）

（II）方程等價(jià)于方程

設(shè)則

當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，是增函數(shù).（8分）

方程在區(qū)間內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根.  （11分）

所以存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.（13分）

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知是二次函數(shù)，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。

    （I）求的解析式；

    （II）是否存在實(shí)數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012屆寧夏銀川一中高三上學(xué)期第二次月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知是二次函數(shù)，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12.
（1）求的解析式；
（2）是否存在整數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)
數(shù)根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013-2014學(xué)年山東省煙臺(tái)市高三上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在點(diǎn)處的切線與直線平行．

(1)求的解析式；

(2)是否存在t∈N*，使得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？

若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年寧夏高三上學(xué)期第二次月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知是二次函數(shù)，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12.

（1）求的解析式；

（2）是否存在整數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)

 

數(shù)根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：湖南省長(zhǎng)沙市2010-2011學(xué)年高三年級(jí)月考（一）數(shù)學(xué)試題（理科） 題型：解答題

 

（本小題滿分13分）

       已知是二次函數(shù)，不等式的解集是（0，5），且在區(qū)間[-1，4]上的最大值是12。

   （1）求的解析式；

   （2）是否存在自然數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。

 

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