Question

【題目】在四棱錐中，平面，是正三角形，與的交點(diǎn)恰好是中點(diǎn)，又，.

（1）求證：；

（2）設(shè)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若直線平面，求的長(zhǎng)；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1；（3）.

【解析】

（1）利用線面垂直的判定定理，證明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；（2）取DC中點(diǎn)G，連接FG，證明平面EFG∥平面PAD，可得FG∥平面PAD，證明三角形AMF為直角三角形，即可求AF的長(zhǎng)；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

（1）∵是正三角形，是中點(diǎn)，

∴，即.

又∵平面，∴.

又，∴平面.

∴.

（2）取中點(diǎn)，連接，則平面，

又直線平面，EG∩EF=E,所以平面平面，所以

∵為中點(diǎn)，，∴.

∵，，∴，則三角形AMF為直角三角形，又，故

（3）分別以，，為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

∴，，，.

為平面的法向量.

，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，

令，得，，則平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)二面角的大小為，則.

所以二面角余弦值為.