Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若存在，且當(dāng)時(shí)，，證明：．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；極小值為，無(wú)極大值；（2）；（3）詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）求出，分類討論的取值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)可得單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）令，求解導(dǎo)數(shù)，分別討論時(shí)和時(shí)兩種情況，結(jié)合函數(shù)最值，可得實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）先令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，把條件轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，證明，進(jìn)而可證.

（1），定義域，，

（i）當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，無(wú)極值；

（ii）當(dāng)時(shí)，令，解得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為；

令，解得，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為．

此時(shí)有極小值，無(wú)極大值．

（2）令，，

則．

（i）時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

∴，

∴恒成立，滿足題意．

（ii）時(shí)，令，，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，

其中，且在上單調(diào)遞減，

∴根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，使得，

即，；，

∴，，在上單調(diào)遞增，

又∵，

∴，，不滿足題意，舍掉；

綜上可得．

（3）不妨設(shè)，則.

∵，∴，

令，，∴在上單增，

∴，從而；

∴，

即；

下面證明，令，則，

即證明，只要證明，

設(shè)，∴在上恒成立，

∴在單調(diào)遞減，故．

∴，即．