Question

設函數(shù)，。
（1）當時，求的單調區(qū)間；
（2）（i）設是的導函數(shù)，證明：當時，在上恰有一個使得；
（ii）求實數(shù)的取值范圍，使得對任意的，恒有成立。
注：為自然對數(shù)的底數(shù)。

Answer 1

（1）的減區(qū)間是；增區(qū)間是 
（2）在上恰有一個使得.
（ⅱ）。

解析試題分析：（1）當時，   1分
當時，；當時，
所以函數(shù)的減區(qū)間是；增區(qū)間是      3分
（2）（�。�   4分
當時，；當時，
因為，所以函數(shù)在上遞減；在上遞增    6分
又因為，
所以在上恰有一個使得.    8分
（ⅱ）若，可得在時，，從而在內單調遞增，而，
，不符題意。       
由（�。┲�在遞減，遞增，
設在上最大值為則，
若對任意的，恒有成立，則，    11分
由得，，
又，。    13
考點：本題主要考查應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值，恒成立問題。
點評：典型題，本題屬于導數(shù)應用中的基本問題，首先通過求導數(shù)，研究導數(shù)值的正負情況，確定函數(shù)單調區(qū)間。應用同樣的方法，研究函數(shù)圖象的形態(tài)，明確方程解的情況。作為“恒成立問題”往往轉化成求函數(shù)的最值。