【題目】已知函數(shù)。

1)若fx)的圖象與gx)的圖象所在兩條曲線的一個公共點在y軸上,且在該點處兩條曲線的切線互相垂直,求bc的值。

2)若ac1,b0,試比較fx)與gx)的大小,并說明理由;

3)若bc0,證明:對任意給定的正數(shù)a,總存在正數(shù)m,使得當x時,

恒有fx)>gx)成立。

【答案】(12)當, ;當, ;當, .(3)詳見解析

【解析】試題分析:(1)由題意得, ,即2)構造函數(shù).時, ,

時,設,則,當, 取得極小值, 且極小值為,故上單調遞增, , 3)構造函數(shù),則,故上有最小值, ,,存在,使當,恒有;若,存在,使當,恒有,存在,使當,恒有;

試題解析:(1)解: , , , , 2

依題意: ,所以 ; 4

2)解: , 時, , 5

時, ,即

時, , ,即

時,令,.

,則

, 單調遞減;, 單調遞增.

所以當, 取得極小值, 且極小值為

恒成立,故上單調遞增,,

因此,, ,. 9

綜上,當, ;當, ;當, 10

3

證法一:,由(2)知,當, .,

所以, 時,取,即有當,恒有.

, ,等價于

,., 內單調遞增.

,,所以內單調遞增.

即存在,時,恒有. 15

綜上,對任意給定的正數(shù),總存在正數(shù),使得當,恒有. 16

證法二:設,則,

時, , 單調減,當時, , 單調增,

上有最小值, , 12

,則上恒成立,

即當時,存在,使當,恒有

,存在,使當,恒有;

,同證明一的, 15

綜上可得,對任意給定的正數(shù),總存在,,恒有. 16

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