Question

【題目】已知函數。

（1）若f（x）的圖象與g（x）的圖象所在兩條曲線的一個公共點在y軸上，且在該點處兩條曲線的切線互相垂直，求b和c的值。

（2）若a＝c＝1，b＝0，試比較f（x）與g（x）的大小，并說明理由；

（3）若b＝c＝0，證明：對任意給定的正數a，總存在正數m，使得當x時，

恒有f（x）＞g（x）成立。

Answer 1

【答案】（1）（2）當時, ；當時, ；當時, ．（3）詳見解析

【解析】試題分析：（1）由題意得， ，即（2）構造函數則.當時， ， ，

當時，設，則，當時, 取得極小值, 且極小值為，故在上單調遞增, ， （3）構造函數，則，故在上有最小值， ，①若，存在，使當時,恒有；若，存在，使當時,恒有；③若，存在，使當時,恒有；

試題解析：（1）解: ， ， ， ， ， 2分

依題意： ，所以 ； 4分

（2）解: ， 時， ， 5分

①時， ， ，即

②時， ， ，即

③時，令,則.

設，則，

當時, 單調遞減;當時, 單調遞增.

所以當時, 取得極小值, 且極小值為

即恒成立，故在上單調遞增,又,

因此,當時, ,即. 9分

綜上，當時, ；當時, ；當時, ． 10分

（3）

證法一：①若，由（2）知，當時, .即，

所以， 時，取，即有當，恒有.

②若, 即，等價于即

令,則.當時, 在內單調遞增.

取,則，所以在內單調遞增.

又

即存在,當時，恒有. 15分

綜上，對任意給定的正數，總存在正數，使得當，恒有. 16分

證法二：設，則，

當時， ， 單調減，當時， ， 單調增，

故在上有最小值， ， 12分

①若，則在上恒成立，

即當時，存在，使當時,恒有；

②若，存在，使當時,恒有；

③若，同證明一的②， 15分

綜上可得，對任意給定的正數，總存在,當時,恒有. 16分