Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，，，分別為線段上的點，且，.

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由已知可得平面，得到，從而得到平面，即，然后利用勾股定理得，從而得到平面，由線面垂直得性質定理即可得到證明；（2）根據已知條件可建立以為坐標原點，以為軸、軸、軸的正方向建立的空間直角坐標系，求出平面和面的法向量，利用向量公式計算即可得到答案.

（1）證明：由，，且，

則平面，平面，

故，

又，，

則平面，平面，

故.

因為，，

所以，

故.

又因為，

所以平面，

又平面，則

（2）由（1）知，為等腰直角三角形，過作垂直于，

易知，，又，故

由，，得，

故

以為坐標原點，分別以為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，，，，，

，，.

設平面的法向量為，則

，

令，得

設平面的法向量為

則，

令，則，，故

，

由圖可知二面角為鈍角，

故二面角的余弦值為.