【題目】若數(shù)列同時(shí)滿足：①對于任意的正整數(shù)， 恒成立；②對于給定的正整數(shù)， 對于任意的正整數(shù)恒成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.

（1）已知判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；

（2）已知數(shù)列是“數(shù)列”，且存在整數(shù)，使得， ， ， 成等差數(shù)列，證明： 是等差數(shù)列.

【答案】（1）是（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)定義驗(yàn)證兩個(gè)條件是否成立，由于函數(shù)為分段函數(shù)，所以分奇偶分別驗(yàn)證（2）根據(jù)定義數(shù)列隔項(xiàng)成等差，再根據(jù)單調(diào)性確定公差相等，最后求各項(xiàng)通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)關(guān)系得數(shù)列通項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列證結(jié)論

試題解析：（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ，所以.

.

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ，所以.

.

所以，數(shù)列是“數(shù)列”.

（2）由題意可得： ，

則數(shù)列， ， ， 是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，

數(shù)列， ， ， 是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，

數(shù)列， ， ， 是等差數(shù)列，設(shè)其公差為.

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以①，②.

若，則當(dāng)時(shí)，①不成立；

若，則當(dāng)時(shí)，②不成立；

若，則①和②都成立，所以.

同理得： ，所以，記.

設(shè) ，

則

.

同理可得： ，所以.

所以是等差數(shù)列.

【另解】 ，

，

，

以上三式相加可得： ，所以，

所以 ，

，

，

所以，所以，

所以，數(shù)列是等差數(shù)列.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，直線的方程為，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為，．

（1）若，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過作直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；

（3）求證：經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，設(shè)，則以下四個(gè)命題：（1）是等差數(shù)列；（2）中最大項(xiàng)是；（3）通項(xiàng)公式是；（4）.其中真命題的序號是______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從數(shù)列中取出部分項(xiàng)組成的數(shù)列稱為數(shù)列的“子數(shù)列”.

（1）若等差數(shù)列的公差，其子數(shù)列恰為等比數(shù)列，其中，，，求；

（2）若，，判斷數(shù)列是否為的“子數(shù)列”，并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】市政府招商引資，為吸引外商，決定第一個(gè)月產(chǎn)品免稅，某外資廠該第一個(gè)月A型產(chǎn)品出廠價(jià)為每件10元，月銷售量為6萬件；第二個(gè)月，當(dāng)?shù)卣_始對該商品征收稅率為 ，即銷售1元要征收元）的稅收，于是該產(chǎn)品的出廠價(jià)就上升到每件元，預(yù)計(jì)月銷售量將減少p萬件.

（1）將第二個(gè)月政府對該商品征收的稅收y（萬元）表示成p的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

（2）要使第二個(gè)月該廠的稅收不少于1萬元，則p的范圍是多少？

（3）在第（2）問的前提下，要讓廠家本月獲得最大銷售金額，則p應(yīng)為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，，

（I）證明：平面平面；

（II）若， 三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道(管道構(gòu)成Rt△FHE，H是直角項(xiàng)點(diǎn))來處理污水．管道越長，污水凈化效果越好．設(shè)計(jì)要求管道的接口H是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝米，記∠BHE＝．

（1）試將污水凈化管道的長度L表示為的函數(shù)，并寫出定義域；

（2）當(dāng)取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的長度L．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）若A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)P，，求直線的斜率．

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【題目】有一塊多邊形的花園，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是如圖所示的直角梯形，其中，米，，則這塊花園的面積為______平方米.

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