Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

(1)把代入函數(shù)解析式,求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),得到曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值,再求出,代入直線方程的點(diǎn)斜式求切線的方程;

(2)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),討論的范圍，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)函數(shù)定義域分段,利用導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)性;

（1）當(dāng)時(shí)，則函數(shù)，

則，則，

曲線在點(diǎn)處切線的方程為，

整理得：.

故得解.

（2）由函數(shù)，則，

令，，，又且，

①若，，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以在區(qū)間和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).

②若，，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).

綜上可得：

時(shí)，在區(qū)間和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)；

時(shí)，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).