Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1= 且an+1= ．設(shè)bn+2=3 ，數(shù)列{cn}滿足cn=anbn ．
（1）求數(shù)列{bn}通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）若cn≤ +m﹣1對一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得，數(shù)列{an}是公比為 的等比數(shù)列，

則 ，

所以 ，即bn=3n+1

（2）解：由（1）知， ，bn=3n+1，

則 ．

，①

則 ，②

①﹣②兩式相減得

=

=

= ．

所以

（3）解：因?yàn)? ，

所以 = ，

則數(shù)列{cn}單調(diào)遞減，

∴當(dāng)n=1時(shí)，cn取最大值是 ，

又∵cn≤ +m﹣1對一切正整數(shù)n恒成立，

∴ +m﹣1≥ ，即m2+4m﹣5≥0，

解得：m≥1或m≤﹣5

【解析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可知{an}的通項(xiàng)，進(jìn)而代入計(jì)算即得結(jié)論；（2）通過可知數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論；（3）通過分析可知數(shù)列{cn}的單調(diào)性，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解不等式問題，計(jì)算即得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能得出正確答案．