Question

已知a_n是多項式（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ（n≥2，n∈N*）的展開式中含x²項的系數(shù)，則

lim

n→∞

an

n3

的值是（　�。�

• A、0
• B、

  1

  6

• C、

  1

  3

• D、

  1

  2

Answer 1

分析：本題由于各個二項式展開式中含x²項的系數(shù)通項為C_n²，則最終的x²的系數(shù)可以借助組合數(shù)公式C_n+1^m=C_n^m+C_n^m-1求出．

解答：解；因為（1+x）ⁿ中含x²的系數(shù)為C_n²，所以多項式（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ（n≥2，n∈N*）的展開式中含x²項的系數(shù)
a_n=C₂²+C₃²+C₄²+C₅²+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₃³+C₃²+C₄²+C₅²+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₄³+C₄²+C₅²+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₅³+C₅²+C₆²…+C_n-1²+C_n²=C₆³+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₇³+…+C_n-1²+C_n²=…=C_n³
∴a_n=

n(n-1)(n-2)

3×2×1

=

n(n-1)(n-2)

6

，
∴則

lim

n→∞

an

n3

=

lim

n→∞

(1- 1 n )(1- 2 n )

6

=

1

6

；
故選擇B

點評：本題在考查二項式定理的展開式的同時主要檢測了學(xué)生對組合數(shù)公式的掌握情況，并考查了學(xué)生對極限知識的掌握．屬于綜合題型，難度適中．