Question

（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點，
（1）證明：EF∥面PAD；
（2）證明：面PDC⊥面PAD；
（3）求銳二面角B—PD—C的余弦值．

Answer 1

（1）如圖，連接AC，

∵ABCD為矩形且F是BD的中點，
∴AC必經(jīng)過F                       1分
又E是PC的中點，
所以，EF∥AP                          2分
∵EF在面PAD外，PA在面內(nèi)，∴EF∥面PAD                                        4分
（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，
又AP面PAD，∴AP⊥CD                                                                     6分
又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直線，AP⊥面PCD                                  7分
又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD                                                8分
（3）由P作PO⊥AD于O，以O(shè)A為x軸，以O(shè)F為y軸，以O(shè)P為z軸，則
A（1，0，0），P（0，0，1）                                                                   9分
由（2）知是面PCD的法向量，B（1，1，0），D（一1，0，0），
，                                                               10分
設(shè)面BPD的法向量，
由得
取，則，
向量和的夾角的余弦           11分
所以，銳二面角B—PD—C的余弦值                                                 12分

略