Question

設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且成等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，．
（1）求證：當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列；
（2）求的前n項(xiàng)和．

Answer 1

(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;(2)

試題分析：
(1)利用和之間的關(guān)系(),可以得到關(guān)于的關(guān)系式,再利用十字相乘法可以求的,再根據(jù)題意當(dāng)時(shí)，,則有式子成立,即成等差數(shù)列.
(2)利用第(1)問(wèn)的結(jié)果可以得到的通項(xiàng)公式,即前11項(xiàng)成等比數(shù)列,從11項(xiàng)開(kāi)始成等差數(shù)列,即為一個(gè)分段,則其前n項(xiàng)和也要分段討論,即分為與進(jìn)行求解.利用等差與等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可得到相應(yīng)的.
試題解析：
（1） 由，，
得，              4分
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列．                     7分
（Ⅱ）由，得或
又成等比數(shù)列，所以（），，
而，所以，從而．
所以，                      11分
所以．                  14分