Question

【題目】已知函數(shù)在點處的切線方程為.

（1）求、；

（2）設(shè)曲線與軸負半軸的交點為點，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的實數(shù)，都有；

（3）若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）將點代入切線方程得出，并求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由求出、的值；

（2）求出點的坐標，并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在點處切線對應(yīng)的函數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出；

（3）求出方程的根，利用函數(shù)的單調(diào)性證明出，設(shè)函數(shù)在原點處的切線對應(yīng)的函數(shù)為，易得的根為，由函數(shù)的單調(diào)性得出，再利用不等式的性質(zhì)可證明結(jié)論成立.

（1）將代入切線方程中，有，

所以，即，

又，所以，

若，則，與矛盾，故；

（2）由（1）可知，令，有或，

故曲線與軸負半軸的唯一交點為.

曲線在點處的切線方程為，則，

令，則，

所以，.

當(dāng)時，若，，

若，，在上單調(diào)遞增，，故，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時，由知在時單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以，即成立；

（3），設(shè)的根為，則，

又單調(diào)遞減，且，所以，

設(shè)曲線在點處的切線方程為，有，

令，，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，

所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，即，

設(shè)的根為，則，

又函數(shù)單調(diào)遞增，故，故.

又，所以.