Question

已知偶函數(shù)y=f（x）滿足：當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=x（2-x）
（1）求當(dāng)x≤-2時(shí)，f（x）的表達(dá)式；
（2）若直線y=1與函數(shù)y=f（x）的圖象恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）試討論當(dāng)實(shí)數(shù)a，m滿足什么條件時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-m有4個(gè)零點(diǎn)且這4個(gè)零點(diǎn)從小到大依次成等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)x≤-2，則-x≥2，再利用函數(shù)是偶函數(shù)可求；（2）分a＞2與a≤2進(jìn)行討論可求；（3）問(wèn)題等價(jià)于f（x）=m零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，x₄，y=f（x）與y=m交點(diǎn)4個(gè)且均勻分布，從而可解．
解答：解：（1）設(shè)x≤-2，則-x≥2，∴f（-x）=（-x-2）（a+x）
又∵偶函數(shù)∴f（x）=f（-x）f（x）=（x+a）（-x-2）（2分）
（2）（Ⅰ）a＞2時(shí)x≥2，f（x）=（x-2）（a-x）
（3分）

（Ⅱ）a≤2時(shí)，都滿足
綜上，所以 a＜4（2分）
（3）f（x）=m零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，x₄，y=f（x）與y=m交點(diǎn)4個(gè)且均勻分布
（Ⅰ）a≤2時(shí)得（2分）

（Ⅱ）2＜a＜4時(shí)，時(shí)
且（2分）
所以 時(shí)，
（Ⅲ）a=4時(shí)m=1時(shí)    （1分）
（IV）a＞4時(shí)，m＞1
此時(shí)
所以 （舍）a＞4且時(shí)，時(shí)存在  （2分）
綜上：
①時(shí)，
②a=4時(shí)，m=1
③時(shí)，符合題意（1分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，解析式的求解及分類討論的數(shù)學(xué)思想．