Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，點D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）求點B到平面CDB₁的距離；
（Ⅲ）求二面角B-B₁C-D的大�。�

Answer 1

解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，
∴AC、BC、CC₁兩兩垂直．
如圖，以C為原點，直線CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），D（1，1，0）．
（Ⅰ）證明：
設BC₁與B₁C的交點為E，則E（0，1，1）．
∵，∴，∴DE∥AC₁…（3分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁（4分）
（Ⅱ）設點B到平面CDB₁的距離為h．
在三棱錐B₁-BCD中，
∵，且B₁B⊥平面BCD，
∴（6分）
易求得，
∴．
即點B到平面CDB₁的距離是．．（9分）
（Ⅲ）在平面ABC內作DF⊥BC于點F，過點F作FG⊥B₁C于點G，連接DG．
易證明DF⊥平面BCC₁B₁，從而GF是DG在平面BCC₁B₁內的射影，
根據三垂線定理得B₁C⊥GD．
∴∠DGF是二面角B-B₁C-D的平面角（12分）
易知，
∵，
∴=．
∴二面角B-B₁C-D的大小是．（14分）
分析：以C為原點，直線CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系
（Ⅰ）求出，推出DE∥AC₁．從而證明AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）點B到平面CDB₁的距離為h．通過，求點B到平面CDB₁的距離；
（Ⅲ）在平面ABC內作DF⊥BC于點F，過點F作FG⊥B₁C于點G，連接DG，說明∠DGF是二面角B-B₁C-D的平面角，求出與公式相關向量，計算，求二面角B-B₁C-D的大小．
點評：本題考查用空間向量求直線與平面的夾角，直線與平面平行的判定，用空間向量求平面間的夾角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．