Question

【題目】已知函數(shù)=

（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）設(shè)函數(shù)=（x+1）lnx－x+1，證明：當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，x－1與同號(hào)。

Answer 1

【答案】（I）的增區(qū)間是（1，+），減區(qū)間是（0，1） （II）見證明

【解析】

（I）先求得函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（II）先求得函數(shù)的定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)（I）的結(jié)論判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)，由此證得和時(shí)，與同號(hào).

解：（I）函數(shù)的定義域是（0，+），

又=，令=0，得x=1，

當(dāng)x變化時(shí)，與的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+）
	－	0	+
	↘		↗

所以，的增區(qū)間是（1，+），減區(qū)間是（0，1）

（II）函數(shù)的定義域是（0，+），又=lnx+=lnx+=，

由（I）可知，==1，所以，當(dāng)x>0時(shí)，>0，

所以，在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞增。

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)x>1時(shí)，>且x－1>0；

當(dāng)0<x<1時(shí)，<且x－1<0，

所以，當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，x－1與同號(hào)。