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【題目】設函數.

（1）若函數有兩個極值點，求實數的取值范圍；

（2）設，若當時，函數的兩個極值點滿足，求證：.

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）求函數求導，對參數進行分類討論，根據函數單調性，即可求得結果；

（2）根據題意，先求得的范圍，再利用進行適度放縮，即可由對勾函數單調性，容易證明.

（1）由已知，可知函數的定義域為，

在上有兩個零點，

設，

，

當時，，為增函數，不存在兩個零點；

當時，，得，

時，，為增函數，

時，，為減函數.

且此時當趨近于時，趨近于負無窮；當趨近于正無窮時，趨近于負無窮.

故要滿足題意，只需：，

，

實數的取值范圍是.

（2）證明：，

，

由的兩根為，故可得，，，

又，

，

解得，

，

設，

則，

當時，，為增函數，

當時，，為減函數，

，

，

，

令，則，

在時單調遞減，

，

成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，、分別為棱、的中點，.

（1）證明：平面平面；

（2）若二面角的大小為45°，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）若，討論函數的單調性；

（Ⅱ）若對任意的，都有，求實數的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】動點在拋物線上，過點作垂直于軸，垂足為，設.

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設點，過點的直線交軌跡于兩點，直線的斜率分別為，求的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】棋盤上標有第、、、、站，棋子開始位于第站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到調到第站或第站時，游戲結束.設棋子位于第站的概率為.

（1）當游戲開始時，若拋擲均勻硬幣次后，求棋手所走步數之和的分布列與數學期望；

（2）證明：；

（3）求、的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】我國古代有輝煌的數學研究成果，其中《周髀算經》，《九章算術》，《海島算經》，《孫子算經》，《緝古算經》均有著十分豐富的內容，是了解我國古代數學的重要文獻，某中學計劃將這本專著作為高中階段“數學文化”樣本課程選修內容，要求每學年至少選一科，三學年必須將門選完，則小南同學的不同選修方式有______種.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知各項均為正數的數列的前n項和為，.

（1）求數列的通項公式；

（2）記，若集合中恰好有3個元素，求實數的取值范圍；

（3）若，且，求證：數列為等差數列.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對于數列{an}，若從第二項起的每一項均大于該項之前的所有項的和，則稱{an}為P數列.

（1）若{an}的前n項和Sn＝3n+2，試判斷{an}是否是P數列，并說明理由；

（2）設數列a1，a2，a3，…，a10是首項為﹣1、公差為d的等差數列，若該數列是P數列，求d的取值范圍；

（3）設無窮數列{an}是首項為a、公比為q的等比數列，有窮數列{bn}，{cn}是從{an}中取出部分項按原來的順序所組成的不同數列，其所有項和分別為T1，T2，求{an}是P數列時a與q所滿足的條件，并證明命題“若a＞0且T1＝T2，則{an}不是P數列”.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2018年全國數學奧賽試行改革：在高二一年中舉行5次全區(qū)競賽，學生如果其中2次成績達全區(qū)前20名即可進入省隊培訓，不用參加其余的競賽，而每個學生最多也只能參加5次競賽.規(guī)定：若前4次競賽成績都沒有達全區(qū)前20名，則第5次不能參加競賽.假設某學生每次成績達全區(qū)前20名的概率都是，每次競賽成績達全區(qū)前20名與否互相獨立.

（1）求該學生進入省隊的概率.

（2）如果該學生進入省隊或參加完5次競賽就結束，記該學生參加競賽的次數為，求的分布列及的數學期望.

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