Question

（本小題滿分14分）
設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖6所示，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設(shè)分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

Answer 1

（1）由得
當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為
，
過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即，
令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，即，
因此所求的橢圓方程及拋物線方程分別為和．
（2）過(guò)作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
以為直角的只有一個(gè)，
同理以為直角的只有一個(gè)；
若以為直角，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則坐標(biāo)分別為
由得，
關(guān)于的一元二次方程有一解，有二解，即以為直角的有二個(gè)；
因此拋物線上共存在4個(gè)點(diǎn)使為直角三角形．

考查橢圓的、拋物線的方程，圖形及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，運(yùn)算能力，分析、解決問(wèn)題的能力.