Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）記M（a，b）是|f（x）|在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值，證明：當|a|≥2時，M（a，b）≥2．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知：

函數(shù)f（x）的對稱軸為x=

∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上不單調(diào)，

∴ ∈[﹣1，1]

∴a∈[﹣2，2]）

（2）解：由|a|≥2得：a≥2，或a≤﹣2，

而函數(shù)f（x）的對稱軸為直線x= ，

M（a，b）=|f（x）|max=max{|f（﹣1）|，|f（1）|}=

則4≤2|a|≤|1+a+b|+|1﹣a+b|≤2M（a，b）

即M（a，b）≥2）

【解析】（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上不單調(diào)，則函數(shù)圖象的對稱軸x= ∈[﹣1，1]，解得答案；（2）由|a|≥2得：a≥2，或a≤﹣2，則M（a，b）=|f（x）|max=max{|f（﹣1）|，|f（1）|}= ，進而可證得M（a，b）≥2．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減)．