現(xiàn)有下列命題：
①設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，若a2-b2=1，則a-b＜1；
②已知a＞2b＞0，則a2+
8
b(a-2b)
的最小值為16；
③數(shù)列{n(n+4)(
2
3
)n}中的最大項(xiàng)是第4項(xiàng)；
④設(shè)函數(shù)f(x)=
lg|x-1|，x≠1
0，x=1
，則關(guān)于x的方程f2（x）+2f（x）=0有4個(gè)解．
⑤若sinx+siny=
1
3
，則siny-cos2x的最大值是
4
3
．
其中的真命題有
①②③
①②③
．（寫出所有真命題的編號(hào)）
分析：①將a2-b2=1，分解變形為（a+1）（a-1）=b2，即可證明a-1＜b，即a-b＜1；
②先利用基本不等式求得2b（a-b）范圍，進(jìn)而代入原式，進(jìn)一步利用基本不等式求得問題答案．
③求數(shù)列的最大值，可通過做差或做商比較法判斷數(shù)列的單調(diào)性處理．
④題中原方程f2（x）+2f（x）=0有多少個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即要求對(duì)應(yīng)于f（x）=0和f（x）=-2有幾個(gè)不同實(shí)數(shù)解，故先根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖：由圖可知，當(dāng)f（x）=0時(shí)，它有三個(gè)根，當(dāng)f（x）=-2時(shí)，它有二個(gè)根．故關(guān)于x的方程f2（x）+2f（x）=0有且只有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解．
⑤由題意得siny=
1
3
-sinx，且-1≤
1
3
-sinx≤1，得到sinx的取值范圍，把所求的式子配方利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值．
解答：解：①若a2-b2=1，則a2-1=b2，即（a+1）（a-1）=b2，
∵a+1＞a-1，∴a-1＜b，即a-b＜1，①正確；
②：∵2b（a-2b）≤（
2b+a-2b
2
）2=
a2
4
，
∴a2+
16
2b(a-2b)
≥a2+
64
a2
≥16．
當(dāng)且僅當(dāng)2b=a-2b時(shí)取等號(hào)．②正確；
③：an=n（n+4）（
2
3
）n
則
an+1
an
=
( n+1)(n+5)(
2
3
)n+1
n(n+4)( 
2
3
)n
=
2
3
×
( n+1)(n+5)
n(n+4)
≥1
則2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），即n2≤10，所以n＜4，
即n＜4時(shí)，an+1＞an，
當(dāng)n≥4時(shí)，an+1＜an，
所以a4最大．③正確；
④：∵題中原方程f2（x）+2f（x）=0有幾個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
∴即要求對(duì)應(yīng)于f（x）=0和f（x）=-2有幾個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
故先根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖，如圖，
由圖可知，當(dāng)f（x）=0時(shí)，它有三個(gè)根，當(dāng)f（x）=-2時(shí)，它有二個(gè)根．關(guān)于x的方程f2（x）+2f（x）=0有5個(gè)解．④不正確；
⑤：∵sinx+siny=
1
3
，∴siny=
1
3
-sinx，
∵-1≤
1
3
-sinx≤1，∴-
2
3
≤sinx≤1，
∴siny-cos2x=
1
3
-sinx-（1-sin2x） 
=（sinx-
1
2
）2-
11
12
，∴sinx=-
2
3
 時(shí)，siny-cos2x的最大值為（-
2
3
-
1
2
）2-
11
12
=
4
9
，⑤不正確．
故答案為：①②③．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的有界性，二次函數(shù)的性質(zhì)等等．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)V是已知平面M上所有向量的集合，對(duì)于映射f：V→V，a∈V，記a的象為f（a）．若映射f：V→V滿足：對(duì)所有a、b∈V及任意實(shí)數(shù)λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），則f稱為平面M上的線性變換．現(xiàn)有下列命題：
①設(shè)f是平面M上的線性變換，a、b∈V，則f（a+b）=f（a）+f（b）；
②若e是平面M上的單位向量，對(duì)a∈V，設(shè)f（a）=a+e，則f是平面M上的線性變換；
③對(duì)a∈V，設(shè)f（a）=-a，則f是平面M上的線性變換；
④設(shè)f是平面M上的線性變換，a∈V，則對(duì)任意實(shí)數(shù)k均有f（ka）=kf（a）．
其中的真命題是
 
（寫出所有真命題的編號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

現(xiàn)有下列命題：
①設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，若a2-b2=1，則a-b＜1；
②△ABC若acosA=bcosB，則△ABC是等腰三角形；
③數(shù)列{n（n+4）（
2
3
）n中的最大項(xiàng)是第4項(xiàng)；
④設(shè)函數(shù)f（x）=
lg|x-1|，x≠1
0，x=1
則關(guān)于x的方程f2（x）+2f（x）=0有4個(gè)解；
⑤若sinx+siny=
1
3
，則siny-cos2x的最大值是
4
3
．
其中的真命題有
①③
①③
．（寫出所有真命題的編號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•眉山一模）設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1與x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
，則稱函數(shù)f（x）為上凸函數(shù)． 若函數(shù)f（x）為上凸函數(shù)，則對(duì)定義域內(nèi)任意x1、x2、x3，…，xn都有f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
（當(dāng)x1=x2=x3=…=xn時(shí)等號(hào)成立），稱此不等式為琴生不等式，現(xiàn)有下列命題：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函數(shù)；
②二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函數(shù)的充要條件是a＞0；
③f（x）是上凸函數(shù)，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）圖象上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)C在線段AB上，且
AC
=λ
CB
，則f(
x1+λx2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ
；
④設(shè)A，B，C是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，則sinA+sinB+sinC的最大值是
3
3
2
．
其中，正確命題的序號(hào)是
①③④
①③④
（寫出所有你認(rèn)為正確命題的序號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•眉山一模）設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1與x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
，則稱函數(shù)f（x）為上凸函數(shù)．現(xiàn)有下列命題：
①f（x）=sinx，x∈[0，π]是上凸函數(shù)；
②f（x）=lnx（x＞0）是上凸函數(shù)；
③二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函數(shù)的充要條件是a＞0；
④f（x）是上凸函數(shù)，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）圖象上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)C在線段AB上，且
AC
=λ
CB
，則f(
x1+λx2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ
；
其中，正確命題的序號(hào)是
①②④
①②④
（寫出所有你認(rèn)為正確命題的序號(hào)）．

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