Question

如圖，矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，E，F(xiàn)，M，N分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，G，H分別是線段ON，CN的中點(diǎn)．
（1）證明：直線EG與FH的交點(diǎn)L在橢圓W：上；
（2）設(shè)直線l：與橢圓W：有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P，Q，直線l與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)S，T，求的最大值及取得最大值時(shí)m的值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）當(dāng)或時(shí)，取得最大值.

試題分析：解題思路：（1）由點(diǎn)寫出直線方程，聯(lián)立直線方程得到交點(diǎn)坐標(biāo)，，驗(yàn)證點(diǎn)滿足橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，常用“設(shè)而不求”的方法，求弦長，進(jìn)而求所求比值，常用換元法求最值.規(guī)律總結(jié)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般綜合性強(qiáng).一般思路是聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，整理得關(guān)于的一元二次方程，常用“設(shè)而不求”的方法進(jìn)行求解.
試題解析：（1）點(diǎn)，，，，
則直線EG：，直線FH：，
則直線EG與FH的交點(diǎn)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060026406764.png" style="vertical-align:middle;" />，故直線EG與FH的交點(diǎn)L在橢圓W：上．
（2）聯(lián)立方程組消去y，得，
設(shè)，，則，，
由及得．
，
若直線l過A點(diǎn)時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，最大值．
②當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，
，令，則，
當(dāng)，即，時(shí)，取最大值．
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，取得最大值．