一首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列｛an｝中，S5=S13，試問(wèn)：這個(gè)數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？

思路解析：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出Sn的函數(shù)表達(dá)式，再求該函數(shù)的最大值.

解法一：∵S5=S13，∴5a1+×d=13a1+×d.

整理,得d=-a1，而a1＞0，則d＜0.

于是Sn=na1+d=na1+×(-a1)=-n.

∴a1＞0，-＜0，

∴當(dāng)n=-=9時(shí)，Sn取得最大值.

解法二：由等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=an2+bn知，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且S5=S13，故二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為n==9，故當(dāng)n=9時(shí)，Sn取最大值.

解法三：令Sn=an2+bn，由S5=S13得

25a+5b=169a+13b，∴b+18a=0，b=-18a，

又a1=S1=a+b＞0，∴-18a+a＞0，a＜0，

故Sn=an2-18an，

而a＜0，所以當(dāng)n=--18a2·a=9時(shí)，Sn最大.

解法四：∵a1＞0，d＜0，∴Sn有最大值.

若前n項(xiàng)和最大，則應(yīng)有*8.5≤n≤9.5.

故n=9時(shí)，Sn最大.

解法五：由S5=S13知5a1+×d=13a1+×d，整理得2a1+17d=0，

即a1+8d+a1+9d=0，也就是a9+a10=0.

∵a1＞0，d＜0，∴a9＞0，a10＜0，所以S9最大.

深化升華

（1）以上五種解法，前三種都屬于求函數(shù)Sn的最大值，只不過(guò)運(yùn)用了三種不同的求最值的方法；后二種各有新意，思維獨(dú)到，應(yīng)仔細(xì)品味.

（2）當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差d＜0時(shí)，數(shù)列是遞減數(shù)列，若前n項(xiàng)都是正值，則其前n項(xiàng)和有最大值；當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差d＞0時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列，若前n項(xiàng)都是負(fù)值，則其前n項(xiàng)和有最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a2005+a2006＞0，a2005•a2006＜0，則使前項(xiàng)Sn＞0成立的最大自然數(shù)n是（　�。�
A、4009B、4010C、4011D、4012

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一個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列{an}，Sn為其前n項(xiàng)的和．如果S3=S11，那么，當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（08年咸陽(yáng)市一模） 已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足:a2005+a2006>0,a2005?a2006<0,則使前項(xiàng)Sn>0成立的最大自然數(shù)n是           (     )

           

 A. 4009        B.4010       C. 4011          D.4012

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