若∠B=60°,O為△ABC的外心,點(diǎn)P在△ABC所在的平面上,=++,且=8,則邊AC上的高h(yuǎn)的最大值為   
【答案】分析:根據(jù)題意,得點(diǎn)P是△ABC的垂心,從而=0,將化簡為=8,結(jié)合∠B=60°算出和三角形ABC的面積.利用余弦定理,算出當(dāng)且僅當(dāng)==4時,有最小值為4,結(jié)合三角形面積為4,可得AC上的高h(yuǎn)的最大值為2
解答:解:∵O為△ABC的外心,=++,
∴點(diǎn)P是△ABC的垂心,即P是三條高線的交點(diǎn)
=(+=8
=0,∴=8
∵∠B=60°,∴cos60°=8,得=16
根據(jù)正弦定理的面積公式,得S△ABC=sin60°=4
=+-2cos60°=+-16
+≥2=32
≥16,得當(dāng)且僅當(dāng)==4時,有最小值為4
∵S△ABC=•h=4,h是邊AC上的高
∴h≤=2,當(dāng)且僅當(dāng)===4時,邊AC上的高h(yuǎn)的最大值為2
故答案為:2
點(diǎn)評:本題在△ABC中,已知一個角和兩邊長度之積,求另一邊上高的最大值,著重考查了三角形外心與垂直的聯(lián)系、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和正余弦定理等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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