Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移一個(gè)單位即可得到函數(shù)y=φ（x）的圖象，試寫(xiě)出y=φ（x）的解析式及值域；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱(chēng)直線(xiàn)y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線(xiàn)”．設(shè)a=

2

2

，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線(xiàn)”？若存在，求出“分界線(xiàn)”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)圖象的變換可得 φ（x）=a² （x-1）² ，值域?yàn)閇0，+∞）．
（2）由題意可得（1-a²） x²-2x+1＞0 恰有三個(gè)整數(shù)解，故 1-a²＜0，再由（1-a²） x²-2x+1＞0，求得實(shí)數(shù)a的
取值范圍．
（3）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²-elnx，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)判斷單調(diào)性，求出 x=

e

時(shí)，F(xiàn)（x） 取得最小值0．
設(shè)f（x）與g（x）存在“分界線(xiàn)”，方程為 y=kx+

e

2

-k

e

，由 f（x）≥kx+

e

2

-k

e

，對(duì)x∈R恒成立，求得k=

e

．
再利用導(dǎo)數(shù)證明g（x）≤

e

x-

e

2

（x＞0）恒成立，從而得到所求“分界線(xiàn)”方程．

解答：解：（1）由題意可得 φ（x）=a² （x-1）² ，值域?yàn)閇0，+∞）．  …（2分）
（2）不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，
等價(jià)于（1-a²） x²-2x+1＞0 恰有三個(gè)整數(shù)解，故 1-a²＜0，即 a＞1，
∴（1-a²） x²-2x+1=[（（1-a）x-1][（1+a）x-1]＞0，
所以

1

1-a

＜x＜

1

1+a

，又因?yàn)?0＜

1

1+a

＜1，
所以 -3≤

1

1+a

＜-2，解之得 

4

3

≤a＜

3

2

．  …（6分）
（3）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

 x²-elnx，則 F′（x）=x-

e

x

=

(x- e )(x+ e )

x

．
所以當(dāng) 0＜x＜

e

 時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0；當(dāng) x＞

e

 時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0．
因此 x=

e

 時(shí)，F(xiàn)（x） 取得最小值0，
則 f（x）與g（x）的圖象在x=

e

處有公共點(diǎn) （

e

，

e

2

）．   …（8分）
設(shè)f（x）與g（x）存在“分界線(xiàn)”，方程為 y-

e

2

=k（x-

e

），即 y=kx+

e

2

-k

e

，
由 f（x）≥kx+

e

2

-k

e

，對(duì)x∈R恒成立，
則 x²-2kx-e+2k

e

≥0 在x∈R恒成立．
所以△=4k²-4（2k

e

-e）=4(k-

e

)2≤0成立，因此 k=

e

．…（10分）
下面證明 g（x）≤

e

x-

e

2

 （x＞0）恒成立．
設(shè)G（x）=elnx-x

e

+

e

2

，則 G′（x）=

e

x

-

e

=

e ( e -x)

x

．
所以當(dāng)  0＜x＜

e

時(shí)，G′（x）＞0；當(dāng)  x＞

e

時(shí)，G′（x）＜0．
因此 x=

e

時(shí)，G（x）取得最大值0，則 g（x）≤

e

x-

e

2

（x＞0）成立．
故所求“分界線(xiàn)”方程為：y=

e

x-

e

2

．　　　　　　　　　　　　…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平移，值域，解整式和分式不等式，切線(xiàn)方程的求法，導(dǎo)數(shù)知識(shí)判斷單調(diào)性及其應(yīng)用，存在性，以及探索、等價(jià)轉(zhuǎn)化和推理證明能力，解決綜合問(wèn)題的能力．