Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求曲線與直線垂直的切線方程；

（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（3）若存在，使函數(shù)成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）減區(qū)間為和；（3）.

【解析】

試題分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，令，求出切點坐標(biāo)，可得切線方程；（2）令解出的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）由已知得，分離常數(shù)，存在使函數(shù)成立，使即可，對進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性得到其最小值.

試題解析：（1）由已知，·······2分

設(shè)切點坐標(biāo)為，令，解得，所以，因此切線方程為，即；·······4分

（2）函數(shù)的定義域為，

，由，解得或，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和．·······8分

（3）因為，

由已知，若存在使函數(shù)成立，

則只需滿足當(dāng)時，即可．·······9分

又，

則，·······10分

①若，則在上恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，

，

∴，又∵，∴．·······13分

②若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在上的最小值是，·······15分

又∵，而，所以一定滿足條件，

綜上所述，的取值范圍是．·······16分