Question

如圖，A為橢圓（a＞b＞0）上的一個動點，弦AB，AC分別過焦點F₁，F(xiàn)₂．當AC垂直于x軸時，恰好|AF₁|：|AF₂|=3：1．
（1）求該橢圓的離心率；
（2）設(shè)，，試判斷λ₁+λ₂是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當AC垂直于x軸時，|AF₁|：|AF₂|=3：1，由|AF₁|+|AF₂|=2a，
得，在Rt△AF₁F₂中，|AF₁|²=|AF₂|²+（2c）²
解得 e=．
（2）由e=，則，b=c．
焦點坐標為F₁（-b，0），F(xiàn)₂（b，0），則橢圓方程為，
化簡有x²+2y²=2b²．
設(shè)A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
①若直線AC⊥x軸，x₀=b，λ₂=1，
∴λ1+λ2=6．
②若直線AC的斜率存在，則直線AC方程為
代入橢圓方程有（3b²-2bx₀）y²+2by₀（x₀-b）y-b²y₀²=0．
由韋達定理得：，∴
所以，
同理可得
故λ1+λ2=．綜上所述：λ1+λ2是定值6．
分析：（1）由|AF₁|：|AF₂|=3：1，及橢圓定義|AF₁|+|AF₂|=2a，可求AF₁，AF₂，在在Rt△AF₁F₂中，利用勾股定理可求
（2）由（1）可得b=c．橢圓方程為，設(shè)A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
①若直線AC⊥x軸容易求解②若直線AC的斜率存在，則直線AC方程為代入橢圓方程，結(jié)合韋達定理可求，從而可求，同理可得，代入可求
點評：本題主要考查了利用橢圓得性質(zhì)及橢圓的定義求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交中方程思想的應用，這是處理直線與橢圓位置關(guān)系的通法，但要注意基本運算的考查