【題目】設(shè)為實(shí)數(shù),已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且.

1)求的值;

2)設(shè)為實(shí)數(shù),若對(duì)于任意,不等式恒成立,且存在唯一的實(shí)數(shù)使得成立,求的值;

3)是否存在負(fù)數(shù),使得是曲線的切線.若存在,求出的所有值:若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】123

【解析】

1)求出,再由,即可求出值;

2)由(1)的結(jié)論將問題轉(zhuǎn)化為恒成立,設(shè),即為,通過導(dǎo)數(shù)法求出,求出的取值范圍,再由唯一解,求出的值;

3)設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求出切線斜率,結(jié)合已知得,將切點(diǎn)坐標(biāo)代入,整理得到關(guān)于的方程,轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程正數(shù)解的情況,即為與直線在第一象限交點(diǎn)情況,通過求導(dǎo),求出單調(diào)區(qū)間,以及最值,即可求解.

1)因?yàn)?/span>

所以,

.

2)因?yàn)?/span>,

所以恒成立.

,

因?yàn)?/span>,且,

所以

因此為時(shí),,單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,

所以,即

當(dāng)時(shí),,

故方程無解,

當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),由單調(diào)性知

所以存在唯一的使得,即.

3)設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則

,即

,即

原命題等價(jià)于存在正數(shù)使得方程成立.

,

,

,則,

因此當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,,

.

故存在唯一的正數(shù)使得方程成立,

即存在唯一的負(fù)數(shù),

使得是曲線的切線.

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A. B. C. D.

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A.①②B.①④C.②③D.③④

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1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

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