Question

設動點M（x，y）到直線y=3的距離與它到點F（0，1）的距離之比為

3

，點M的軌跡為曲線E．
（I）求曲線E的方程：
（II）過點F作直線l與曲線E交于A，B兩點，且

AF

=λ

FB

．當2≤λ≤3時，求直線l斜率k的取值范圍•

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用動點M（x，y）到直線y=3的距離與它到點F（0，1）的距離之比為

3

，建立方程，可得曲線E的方程；
（Ⅱ）直線l方程為y=kx+1，代入曲線E方程，利用韋達定理及向量知識，可求直線l斜率k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）根據題意，∵動點M（x，y）到直線y=3的距離與它到點F（0，1）的距離之比為

3

，
∴|y-3|=

3

•

x2+(y-1)2

．
化簡，得曲線E的方程為3x²+2y²=6．…（4分）
（Ⅱ）直線l方程為y=kx+1，代入曲線E方程，得（2k²+3）x²+4kx-4=0．…（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

4k

2k2+3

，①x₁x₂=-

4

2k2+3

．②
∵

AF

=λ

FB

，∴（-x₁，1-y₁）=λ（x₂，y₂-1），
由此得x₁=-λx₂．③
由①②③，得

1

2

+

3

4k2

=

λ

(λ-1)2

=

1

( λ - 1 λ )2

．…（9分）
因為2≤λ≤3，所以

2

2

≤

λ

-

1

λ

≤

2 3

3

，從而

3

4

≤

1

( λ - 1 λ )2

≤2，
解不等式

3

4

≤

1

2

+

3

4k2

≤2，得

1

2

≤k²≤3．
故k的取值范圍是[-

3

，-

2

2

]∪[

2

2

，

3

]．…（12分）

點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查直線與曲線的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．