數(shù)列{an)是首項(xiàng)為3公差不為0的等差數(shù)列,a1、a4、a13順次為等比數(shù)列{bn}中相鄰的三項(xiàng).
(I)求數(shù)列{an)的通項(xiàng)公式及數(shù)列{bn}的公比;
(II)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,求使
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
<λ恒成立的λ的取值范圍.
分析:(I)利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出;
(II)使
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
<λ恒成立?(
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
)max<λ
.由(I)可得Sn=
n(3+2n+1)
2
=n(n+2).利用“裂項(xiàng)求和”即可得出.
解答:解:(I)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,
∵a1、a4、a13順次為等比數(shù)列{bn}中相鄰的三項(xiàng),∴
a
2
4
=a1a13

即(3+3d)2=3•(3+12d),又d≠0,解得d=2.
∴an=3+(n-1)×2=2n+1.
a4
a1
=
2×4+1
3
=3,∴數(shù)列{bn}的公比為3;
(II)由(I)可得Sn=
n(3+2n+1)
2
=n(n+2).
1
Sn
=
1
n(n+2)
=
1
2
(
1
n
-
1
n+2
)

1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
2
-
1
4
)+(
1
3
-
1
5
)+…+
(
1
n-1
-
1
n+1
)+(
1
n
-
1
n+2
)]
=
1
2
(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)
=
1
2
(
3
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)
3
4

使
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
<λ恒成立?(
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
)max<λ
,
λ≥
3
4

因此使
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
<λ恒成立的λ的取值范圍是[
3
4
,+∞)
點(diǎn)評(píng):本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化、“裂項(xiàng)求和”等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

閱讀下面所給材料:已知數(shù)列{an},a1=2,an=3an-1+2,求數(shù)列的通項(xiàng)an
解:令an=an-1=x,則有x=3x+2,所以x=-1,故原遞推式an=3an-1+2可轉(zhuǎn)化為:
an+1=3(an-1+1),因此數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為a1+1,公比為3的等比數(shù)列.
根據(jù)上述材料所給出提示,解答下列問(wèn)題:
已知數(shù)列{an},a1=1,an=3an-1+4,
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)an;并用解析幾何中的有關(guān)思想方法來(lái)解釋其原理;
(2)若記Sn=
n
k=1
1
lg(ak+2)lg(ak+1+2)
,求
lim
n→∞
Sn;
(3)若數(shù)列{bn}滿足:b1=10,bn+1=100bn3,利用所學(xué)過(guò)的知識(shí),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以用閱讀材料的提示,求出解數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

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12
的等比數(shù)列,數(shù)列{an+bn}是首項(xiàng)為-2,第三項(xiàng)為2的等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2008年上海市金山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

閱讀下面所給材料:已知數(shù)列{an},a1=2,an=3an-1+2,求數(shù)列的通項(xiàng)an
解:令an=an-1=x,則有x=3x+2,所以x=-1,故原遞推式an=3an-1+2可轉(zhuǎn)化為:
an+1=3(an-1+1),因此數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為a1+1,公比為3的等比數(shù)列.
根據(jù)上述材料所給出提示,解答下列問(wèn)題:
已知數(shù)列{an},a1=1,an=3an-1+4,
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)an;并用解析幾何中的有關(guān)思想方法來(lái)解釋其原理;
(2)若記Sn=,求Sn;
(3)若數(shù)列{bn}滿足:b1=10,bn+1=100bn3,利用所學(xué)過(guò)的知識(shí),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以用閱讀材料的提示,求出解數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn

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