(2009•閔行區(qū)二模)(文)本題共有3個(gè)小題,第1、2小題滿分各5分,第3小題滿分7分.第3小題根據(jù)不同思維層次表現(xiàn)予以不同評(píng)分.
對(duì)于數(shù)列{an}
(1)當(dāng){an}滿足an+1-an=d(常數(shù))且
an+1
an
=q
(常數(shù)),證明:{an}為非零常數(shù)列.
(2)當(dāng){an}滿足an+12-an2=d'(常數(shù))且
a
2
n+1
a
2
n
=q′
(常數(shù)),判斷{an}是否為非零常數(shù)列,并說明理由.
(3)對(duì)(1)、(2)等式中的指數(shù)進(jìn)行推廣,寫出推廣后的一個(gè)正確結(jié)論(不用說明理由).
分析:(1)由已知,結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,建立q,d的關(guān)系,
(法一)證出d=0,,并說明項(xiàng)不為0即可.
(法二)證出q=1,并說明項(xiàng)不為0即可
(2)由(1)證明的結(jié)論知:{an2}為非零常數(shù)列,可舉反例說明{an}是否為非零常數(shù)列
(3)指數(shù)由1,2進(jìn)行推廣到一般 時(shí),由(1)代表了指數(shù)為奇數(shù)、且命題為真命題的情形,(2)代表了指數(shù)為偶數(shù),且命題為真命題的情形 的情形,可據(jù)這兩式寫出正確的結(jié)論.
解答:解:(1)(法一)
an+1-an=d
an+1
an
=q
⇒qan-an=d⇒(q-1)an=d
當(dāng)q=1時(shí),∵an≠0,所以d=0;
當(dāng)q≠1時(shí),an=
d
q-1
是一常數(shù),矛盾,所以{an}為非零常數(shù)列; (5分)
(法二)設(shè)an=a1+(n-1)d,則有:
an+1
an
=
a1+(n+1-1)d
a1+(n-1)d
=q
,
即a1+nd=(a1q-qd)+qdn(2分)
所以
d=qd
a1=qa1-qd
,解得
d=0
q=1
.由此可知數(shù)列{an}為非零常數(shù)列; (5分)
(2)記an2=bn,由(1)證明的結(jié)論知:{an2}為非零常數(shù)列.(2分)
顯然,{an2}為非零常數(shù)列時(shí),{an}不一定為非零常數(shù)列,如:非常數(shù)數(shù)列an=(-p)n(p為大于0的正常數(shù))和常數(shù)列an=p(p為非零常數(shù))均滿足題意要求.(5分)
(3)若{an}滿足an+1m-anm=d'(常數(shù))且
a
m
n+1
a
m
n
=q′
(常數(shù)),則當(dāng)m為奇數(shù)時(shí),{an}必為非零常數(shù)列;當(dāng)m為偶數(shù)時(shí),{an}不一定為非零常數(shù)列.
或者:設(shè)anm=a1m+(n-1)d,即anm=A+Bn,則
a
m
n+1
a
m
n
=(
A+(n+1)B
A+nB
)m=q′
,即(1+
B
A+Bn
)m
對(duì)一切n∈N*均為常數(shù),則必有B=0,即有anm=A,當(dāng)m為奇數(shù)時(shí),an=
mA
,當(dāng)m為偶數(shù)時(shí),an=
mA
(A>0)
或者an=
m(-A)
 i (A<0)
.3°{an}滿足an+1m-anm=d'(常數(shù))且
a
l
n+1
a
l
n
=q′
(常數(shù)),且m、l為整數(shù),
當(dāng)m、l均為奇數(shù)時(shí),{an}必為非零常數(shù)列;否則{an}不一定為常數(shù)列.
事實(shí)上,條件
a
l
n+1
a
l
n
=q′
(正常數(shù))可以轉(zhuǎn)化為
a
m
n+1
a
m
n
=(q′)
m
l
(常數(shù)),整個(gè)問題轉(zhuǎn)化為2°,結(jié)論顯然成立.(結(jié)論5分)
或者:設(shè)anm=a1m+(n-1)d,即anm=A+Bn,當(dāng)m為奇數(shù)時(shí),有an=
mA+Bn
,則
a
l
n+1
a
l
n
=(
A+(n+1)B
A+nB
)
l
m
=q′
,即(1+
B
A+Bn
)
l
m
對(duì)一切n∈N*均為常數(shù),則必有B=0,即有anm=A,則an=
mA
,當(dāng)m為偶數(shù)時(shí),如反例:an=(-1)nn∈N*,它既滿足m次方后是等差數(shù)列,又是l(不管l為奇數(shù)還是偶數(shù))次方后成等比數(shù)列,但它不為常數(shù)列.4°{an}滿足an+1m-anm=d'(常數(shù))且
a
l
n+1
a
l
n
=q′
(常數(shù)),m、l為有理數(shù),q′>0,則{an}必為非零常數(shù)列;否則{an}不一定為常數(shù)列.
證明過程同3°(結(jié)論6分)5°{an}滿足an+1m-anm=d'(常數(shù))且
a
l
n+1
a
l
n
=q′
(常數(shù)),且m、l為實(shí)數(shù),q′>0,{an}是不等于1的正數(shù)數(shù)列,則{an}必為非零且不等于1的常數(shù)列;否則{an}不一定為常數(shù)列.
事實(shí)上,當(dāng)q′>0,m、l為實(shí)數(shù)時(shí),條件
a
l
n+1
a
l
n
=q′
同樣可以轉(zhuǎn)化為
a
m
n+1
a
m
n
=(q′)
m
l
,記anm=bn,由第(1)題的結(jié)論知:{bn}必為不等于1的正常數(shù)數(shù)列,也即{anm}為不等于1的正常數(shù)數(shù)列,an=
mbn
,從而{an}也是不等于1的正常數(shù)數(shù)列.
(結(jié)論7分)
點(diǎn)評(píng):本題考查歸納推理,借用了數(shù)列的形式.用到了等差、等比數(shù)列的定義、判斷,有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則等知識(shí).
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(1)求|AB|的值;
(2)將直線AB按向量
a
=(-2,0)
平移得直線m,N是m上的動(dòng)點(diǎn),求
NA
NB
的最小值.
(3)設(shè)C(2,0),D為拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn),證明:存在一條定直線l:x=a,使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值,并求出直線l的方程.

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lim
n→∞
2n2+1
3n(n-1)
=
2
3
2
3

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3x+1  (x≥1)
x-4
x-2
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0
0

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x-4x-2
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0
0

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n
=(3,-4)
,則直線l的方程是
3x-4y+5=0
3x-4y+5=0
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