Question

2．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的漸近線為等邊三角形OAB的邊OA、OB所在直線，直線AB過焦點，且|AB|=2，則雙曲線實軸長為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $3\sqrt{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 利用雙曲線方程以及漸近線的性質求出a，b關系式，通過|AB|=2，求出c，然后求解a即可得到結果．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的漸近線為等邊三角形OAB的邊OA、OB所在直線，
可得$\frac{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，直線AB過焦點，且|AB|=2，
可得c=$\sqrt{3}$，
則$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{3}$，
解得a=$\frac{3}{2}$．
則雙曲線實軸長為：3．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力．