Question

(1)如圖所示，給出兩塊面積相同的正三角形紙片(如圖(1)，圖(2))要求用其中一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，另一塊剪拼成一個(gè)正三棱錐模型，使它們的全面積都相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖(1)、圖(2)中，并作簡(jiǎn)要說明：

(2)(本小題為附加題)如果給出的是一塊任意三角形紙片(如圖(3))．要求剪拼成一個(gè)直三棱柱模型，全面積與給出的三角形的面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，作虛線表示在圖(3)中，并作簡(jiǎn)要說明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如圖(1)所示，正三角形三邊中點(diǎn)連線折起，可拼得一個(gè)正三棱錐． 如圖(2)所示，正三角形上剪出三個(gè)相同的四邊形．其較長(zhǎng)的一組鄰邊邊長(zhǎng)為三角形邊長(zhǎng)的，有一組對(duì)角為直角．余下部分按虛線折起，可成為一個(gè)缺上底的正三棱柱的上底． 　　(2)如圖(3)所示，分別連結(jié)三角形的內(nèi)心與各頂點(diǎn)，得到三條線段，再以這三條線段的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形．以新作的三角形為直三棱柱的底面．過新三角形的三個(gè)頂點(diǎn)向原三角形三邊作垂線，沿六條垂線剪下三個(gè)四邊形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虛線折起，成為一個(gè)缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型．

提示：

分析：剪拼成正三棱錐的問題可借助正四面體的“側(cè)面展開圖”來考慮．正四面體(特殊的正三棱錐)的四個(gè)面是全等的正三角形，沿三條棱剪開后，“攤平”，正好拼成一個(gè)大正三角形，因此沿正三角形紙片的三條中位線折疊，就可得到一個(gè)正三棱錐的模型． 　　剪拼所得正三棱柱底面是正三角形，方法1是參照(1)中作為底面的小正三角形旋轉(zhuǎn)60°，即以正三角形紙片的內(nèi)心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)為頂點(diǎn)剪得的正三角形為棱柱的一個(gè)底面(面積為紙片的)，再分別“由各頂點(diǎn)向相鄰兩邊作垂線構(gòu)造三個(gè)矩形為棱柱的側(cè)面(如圖(3)，其一邊長(zhǎng)為紙片邊長(zhǎng)的)，剩下三個(gè)角上的四邊形恰能拼成另一個(gè)底面(面積也是紙片的)． 　　解題心得：將一個(gè)正三角形剪拼成正三棱柱模型還有以下方法(如圖)：用正三角形紙片的一條中位線截得的小三角形為棱柱一個(gè)底面，由相應(yīng)的兩個(gè)中點(diǎn)向第三條作垂線截得一個(gè)矩形，將此矩形“橫向”等分成三個(gè)小矩形(其一邊長(zhǎng)等于底面邊長(zhǎng))作為棱柱的三個(gè)側(cè)面，紙片剩下的兩個(gè)小的直角三角形正好又拼成棱柱的另一個(gè)底．