【題目】已知橢圓的焦距為,設右焦點為,過原點的直線與橢圓交于兩點,線段的中點為,線段的中點為,且.
(1)求弦的長;
(2)當直線的斜率,且直線時, 交橢圓于,若點在第一象限,求證:直線與軸圍成一個等腰三角形.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】試題分析:(1)關鍵求點A坐標關系:設,則根據(jù)條件表示, ,再根據(jù)向量數(shù)量積得,即得的長為.(2)證直線與軸圍成一個等腰三角形,就是證直線的斜率相反.先確定A點坐標,并求出橢圓方程,再設與橢圓方程聯(lián)立方程組,結合韋達定理可得兩點橫坐標和與積的關系,代入直線的斜率公式,并化簡可證它們?yōu)橄喾搓P系.
試題解析:(1)因為橢圓: 的焦距為,則,
設,則, , ,
,則,所以的長為.
(2)因為直線的斜率時,且直線,所以,設, ,
∴由(1)知, ,所以,又半焦距為,所以橢圓,聯(lián)解:
得,設,則, ,
設直線的斜率分別為,則, ,那么
,
所以直線與軸圍成一個等腰三角形.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t,硝酸鹽18t;生產(chǎn)1車乙種肥料的主要原料是磷酸鹽1t、硝酸鹽15t.現(xiàn)庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t.已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料,產(chǎn)生的利潤為10000元;生產(chǎn)1車皮乙種肥料,產(chǎn)生的利潤為5000元.那么分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮,能夠產(chǎn)生最大利潤?最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=2x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集為(0,5).
(1)求b,c的值;
(2)若對任意x∈[﹣1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立,求t的取值范圍.
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【題目】“微信運動”已成為當下熱門的健身方式,小王的微信朋友圈內(nèi)也有大量好友參與了“微信運動”,他隨機選取了其中的40人(男、女各20人),記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下:
(1)若采用樣本估計總體的方式,試估計小王的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過5000步的概率;
(2)已知某人一天的走路步數(shù)超過8000步被系統(tǒng)評定“積極型”,否則為“懈怠型”,根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有95%以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關?
附: ,
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【題目】已知函數(shù),設關于的方程有個不同的實數(shù)解,則的所有可能的值為( )
A. 3 B. 1或3 C. 4或6 D. 3或4或6
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【題目】已知函數(shù)f(x)=log3 ,g(x)=﹣2ax+a+1,h(x)=f(x)+g(x).
(Ⅰ)當a=﹣1時,證明h(x)是奇函數(shù);
(Ⅱ)若關于x的方程f(x)=log3g(x)有兩個不等實數(shù)根,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】如圖, 是圓柱的上、下底面圓的直徑, 是邊長為2的正方形, 是底面圓周上不同于兩點的一點, .
(1)求證: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù), .
(1)若曲線在處的切線的方程為,求實數(shù)的值;
(2)設,若對任意兩個不等的正數(shù),都有恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
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【題目】如圖,橢圓的中心在坐標原點,焦點在x軸上,A1 , A2 , B1 , B2為橢圓頂點,F(xiàn)2為右焦點,延長B1F2與A2B2交于點P,若∠B1PB2為鈍角,則該橢圓離心率的取值范圍是( )
A.( ,1)
B.(0, )
C.(0, )
D.( ,1)
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