Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），焦點為F，一直線l與拋物線交于A、B兩點，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分線恒過定點S（6，0）
①求拋物線方程；
②求△ABS面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：①利用點差法，確定AB中點M的坐標，分類討論，根據AB的垂直平分線恒過定點S（6，0），即可求拋物線方程；
②分類討論，求出△ABS面積的表達式，即可求得其最大值．
解答：解：①設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點M（x，y）
當直線的斜率存在時，設斜率為k，則由|AF|+|BF|=8得x₁+x₂+p=8，∴
又得，∴
所以
依題意，∴p=4
∴拋物線方程為y²=8x----（6分）
當直線的斜率不存在時，2p=8，也滿足上式，∴拋物線方程為y²=8x
②當直線的斜率存在時，由M（2，y）及，
令y=0，得
又由y²=8x和得：
∴
∴----（12分）
當直線的斜率不存在時，AB的方程為x=2，|AB|=8，△ABS面積為
∵，∴△ABS面積的最大值為．
點評：本題考查拋物線的標準方程，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．