【題目】已知函數(shù)f(x)=2|x+2|﹣|x+1|,無窮數(shù)列{an}的首項a1=a.
(1)如果an=f(n)(n∈N*),寫出數(shù)列{an}的通項公式;
(2)如果an=f(an1)(n∈N*且n≥2),要使得數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求首項a的取值范圍;
(3)如果an=f(an1)(n∈N*且n≥2),求出數(shù)列{an}的前n項和Sn

【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)=2|x+2|﹣|x+1|= ,

又n≥1且n∈N*,∴an=f(n)=n+3


(2)解:如果{an}是等差數(shù)列,則an﹣an1=d,an=an1+d,

由f(x)知一定有an=an1+3,公差d=3.

當a1≥﹣1時,符合題意.

當﹣2≤a1≤﹣1時,a2=3a1+5,由a2﹣a1=3得3a1+5﹣a1=3,得a1=﹣1,a2=2.

當a1≤﹣2時,a2=﹣a1﹣3,由a2﹣a1=3得﹣a1﹣3﹣a1=3,得a1=﹣3,此時a2=0.

綜上所述,可得a的取值范圍是a≥﹣1或a=﹣3


(3)解:當a≥﹣1時,an=f(an1)=an1+3,∴數(shù)列{an}是以a為首項,公差為3的等差數(shù)列,

當﹣2≤a≤﹣1時,a2=3a1+5=3a+5≥﹣1,∴n≥3時,an=an1+3.∴n=1時,S1=a.n≥2時,

又S1=a也滿足上式,∴ (n∈N*

當a≤﹣2時,a2=﹣a1﹣3=﹣a﹣3≥﹣1,∴n≥3時,an=an1+3.∴n=1時,S1=a.n≥2時,

又S1=a也滿足上式,∴ (n∈N*).

綜上所述:Sn=


【解析】(1)化簡函數(shù)f(x)為分段函數(shù),然后求出an=f(n)=n+3.(2)如果{an}是等差數(shù)列,求出公差d,首項,然后求解a的范圍.(3)當a≥﹣1時,求出前n項和,當﹣2≤a≤﹣1時,當a≤﹣2時,分別求出n項和即可.

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D.

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