Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

x+sinx

x

，g（x）=xcosx-sinx．
（1）求證：當(dāng)x∈（0，π]時(shí)，g（x）＜0；
（2）存在x∈（0，π]，使得f（x）＜a成立，求a的取值范圍；
（3）若g（bx）≤bxcosbx-bsinx（b≥-1）對x∈（0，π]恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）轉(zhuǎn)化求函數(shù)g（x）在（0，π]上的最大值，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性進(jìn)而求解；
（2）依題意即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在（0，π]上的最小值，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性進(jìn)而求解；
（3）先表示出函數(shù)g（bx），將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性進(jìn)而求解，注意b的范圍的討論．

解答：解（1）因?yàn)楫?dāng)x∈（0，π]時(shí)，g'（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx≤0，
所以g（x）在（0，π]上單調(diào)遞減，（3分）
又g（0）=0，所以當(dāng)x∈（0，π]時(shí)，g（x）＜0（4分）
（2）因?yàn)?span id="umdlodv" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(x)=

x+sinx

x

=1+

sinx

x

，
所以f′(x)=

xcosx-sinx

x2

，
由（1）知，當(dāng)x∈（0，π]時(shí)，xcosx-sinx＜0，所以f'（x）＜0（6分）
所以f（x）在（0，π]上單調(diào)遞減，則當(dāng)x∈（0，π]時(shí)，f（x）_min=f（π）=1（8分）
由題意知，f（x）＜a在（0，π]上有解，所以a＞f（x）_min，從而a＞1（10分）
（3）由g（bx）≤bxcosbx-bsinx（b≥-1），得sinbx≥bsinx（b≥-1）對x∈（0，π]恒成立，
①當(dāng)b=-1，0，1時(shí)，不等式顯然成立（11分）
②當(dāng)b＞1時(shí)，因?yàn)閎x∈（0，bπ]，所以取x0=

π

b

∈(0，π]，
則有sinbx₀=0＜bsinx₀，從而時(shí)不等式不恒成立（12分）
③當(dāng)0＜b＜1時(shí)，由（Ⅱ）可知h(x)=

sinx

x

在（0，π]上單調(diào)遞減，而0＜bx＜x≤π，
∴

sinx

x

＜

sinbx

bx

，
∴sinbx＞bsinx成立（14分）
④當(dāng)-1＜b＜0時(shí)，當(dāng)x∈（0，π]時(shí)，0＜-bx＜x≤π，
則

sinx

x

＜

sin(-bx)

-bx

=

sinbx

bx

，∴sinbx＜bsinx不成立，
綜上所述，當(dāng)b=-1或0≤b≤1時(shí)，有g(shù)（bx）≤bxcosbx-bsinx（b≥-1）對x∈（0，π]恒成立．（16分）

點(diǎn)評：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性求得到函數(shù)的最值，掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件，“轉(zhuǎn)化”是這類題目解決的“靈魂”．