已知fk（x）=（n-k+1）xn-k（其中k≤n，k，n∈N），F(xiàn)（x）=Cn°f0（x2）+Cn1f1（x2）+…+Cnkfk（x2）+…+Cnnfn（x2），x∈[-1，1]
（1）試用n，k表示：F（1），F(xiàn)（0）
（2）證明：F（1）-F（0）≤2n-1（n+2）

解：（1）fk（1）=（n-k+1），fk（0）=0
F（1）=Cn°f0（1）+Cn1f1（1）+…+Cnkfk（1）+…+Cnnfn（1）
=Cn°（n+1）+Cn1 （n）+…+Cnk （n-k+1）+…+Cnn ×1，①
把F（1）倒序書(shū)寫可得
F（1）=Cnn ×1++…+ （k+1）+…+Cn1 （n）+Cn°（n+1），②
把①和②相加可得2F（1）=（n+2）（ Cn°+Cn1 +…+Cnk +…+Cnn ）=（n+2）2n，
故F（1）=（n+2）2n-1 ．
F（0）=Cn°f0（0）+Cn1f1（0）+…+Cnkfk（0）+…+Cnnfn（0）=0．
（2）證明：F（1）-F（0）=（n+2）2n-1 -0≤（n+2）2n-1 ，故不等式成立．
分析：（1）由條件求出fk（1）的值，進(jìn)而求得F（1）的解析式，再把F（1）倒序書(shū)寫，將這兩個(gè)式子相加再除以2，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出F（1）的值．根據(jù)fk（0）的值求得F（0）的值．
（2）由于F（1）-F（0）=F（1）-0≤F（1），證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)值的方法，把F（1）倒序書(shū)寫，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知fk（x）=（n-k+1）xn-k（其中k≤n，k，n∈N），F(xiàn)（x）=Cn°f0（x2）+Cn1f1（x2）+…+Cnkfk（x2）+…+Cnnfn（x2），x∈[-1，1]
（1）試用n，k表示：F（1），F(xiàn)（0）
（2）證明：F（1）-F（0）≤2n-1（n+2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ax
x+1
（a為非零常數(shù)），定義：f1（x）=f（x），fk+1（x）=f[fk（x）]，k∈N*，例如：f2（x）=f[f（x）]，f3（x）=f[f2（x）]，…
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f2(1)，f3(-
1
7
)的值；
（2）若對(duì)于任意x≠-1，等式f2（x）=x恒成立，求a的值；
（3）當(dāng)a確定后，fk（x），k∈N*的值都由x的值確定．當(dāng)a=2時(shí)，試通過(guò)對(duì)fk（x）的探究，寫出一個(gè)使得集合{fk（x）}為有限集的真命題（不必證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009-2010學(xué)年四川省成都七中高二（上）數(shù)學(xué)單元測(cè)試：排列組合與二項(xiàng)式定理（解析版） 題型：解答題

已知fk（x）=（n-k+1）xn-k（其中k≤n，k，n∈N），F(xiàn)（x）=Cn°f（x2）+Cn1f1（x2）+…+Cnkfk（x2）+…+Cnnfn（x2），x∈[-1，1]
（1）試用n，k表示：F（1），F(xiàn)（0）
（2）證明：F（1）-F（0）≤2n-1（n+2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知fk（x）=（n-k+1）xn-k（其中k≤n，k，n∈N），F(xiàn)（x）=Cn°f0（x2）+Cn1f1（x2）+…+Cnkfk（x2）+…+Cnnfn（x2），x∈[-1，1]
（1）試用n，k表示：F（1），F(xiàn)（0）
（2）證明：F（1）-F（0）≤2n-1（n+2）

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