Question

（08年湖北卷理）（本小題滿分12分）

如圖，在直三棱柱中，平面側(cè)面

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）若直線AC與平面A₁BC所成的角為θ,二面角A₁-BC-A的大小為φ的大小關(guān)系，并予以證明.

Answer 1

【標準答案】（1）證明：如圖，過點在平面內(nèi)作于，則

由平面側(cè)面，且平面側(cè)面，得平面。又平面，

所以。

因為三棱柱是直三棱柱，

則底面。

所以，又，從而側(cè)面。

又側(cè)面，故.

（2）解法1：連接，則由（1）知是直線與平面所成的角，

是二面角的平面角，即。

于是在中，在中，，

由，得，又所以。

 

 

解法2：由（1）知，以點為坐標原點，以、、所在的直線分軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，

則，

于是，。

設(shè)平面的一個法向量為，則

由得

可取，于是與的夾角為銳角，則與互為余角。

所以，，

所以。

于是由，得，

即，又所以。

【試題解析】第（1）問證明線線垂直，一般先證線面垂直，再由線面垂直得線線垂直；第（2）問若用傳統(tǒng)方法一般來說要先作垂直，進而得直角三角形。若用向量方法，關(guān)鍵在求法向量。

【高考考點】本題主要考查直棱柱、直線與平面所成的角、二面角和線面關(guān)系等有關(guān)知識，同時考查空間想象能力和推理能力。

【易錯提醒】要牢記面面角，線面角的范圍，特別是用向量法求二面角的時候要注意所要求的角與向量夾角的關(guān)系。

【備考提示】立體幾何中的垂直、平行，角與距離是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，應該熟練掌握。