設函數(shù)f(x)的定義域為D,值域為B,如果存在函數(shù)x=g(t),使得函數(shù)y=f(g(t))的值域仍然是B,那么,稱函數(shù)x=g(t)是函數(shù)f(x)的一個等值域變換.
(1)判斷下列x=g(t)是不是f(x)的一個等值域變換?說明你的理由:(A)f(x)=2x+b,x∈R,x=t2-2t+3,t∈R;(B)f(x)=x2-x+1,x∈R,x=g(t)=2t,t∈R;
(2)設f(x)=log2x(x∈R+),g(t)=at2+2t+1,若x=g(t)是f(x)的一個等值域變換,求實數(shù)a的取值范圍,并指出x=g(t)的一個定義域;
(3)設函數(shù)f(x)的定義域為D,值域為B,函數(shù)g(t)的定義域為D1,值域為B1,寫出x=g(t)是f(x)的一個等值域變換的充分非必要條件(不必證明),并舉例說明條件的不必要性.
分析:(1)根據(jù)題意中等值域變換的定義,分別分析(A)、(B)是否符合其定義,即值域是否相同,可得答案;
(2)根據(jù)題意,易得f(x)的值域為R,則g(t)=at2+2t+1能取到任意一個正數(shù),分a=0與a≠0兩種情況討論,分析可得答案;
(3)設函數(shù)f(x)的定義域為D,值域為B,函數(shù)g(t)的定義域為D1,值域為B1,舉例分析可得答案.
解答:解:(1)(A):函數(shù)f(x)=2x+b,x∈R的值域為R,
x=t2-2t+3=(t-1)2+2≥2,
y=f(g(t))=2[(t-1)2+2]+b≥4+b,
所以,x=g(t)不是f(x)的一個等值域變換;(2分)
(B):f(x)=x2-x+1=(x-
1
2
)2+
3
4
3
4
,即f(x)的值域為[
3
4
,+∞)

當t∈R時,f(g(t))=(2t-
1
2
)2+
3
4
3
4
,即y=f(g(t))的值域仍為[
3
4
,+∞)

所以,x=g(t)是f(x)的一個等值域變換;(5分)
(2)根據(jù)題意,易得f(x)的值域為R,因為x=g(t)是f(x)的一個等值域變換,
所以,g(t)=at2+2t+1能取到任意一個正數(shù),(6分)
1)當a=0時,g(t)=2t+1是一次函數(shù),g(t)=2t+1>0?t>-
1
2
;(8分)
2)當a≠0時,g(t)=at2+2t+1是二次函數(shù),
a>0
△=4-4a≥0
?0<a≤1
,at2+2t+1>0?t∈(-∞,
-1-
1-a
a
)∪(
-1+
1-a
a
,+∞)
,(11分)
所以,a∈[0,1],
當a=0時,x=g(t)=2t+1的定義域為(-
1
2
,+∞)
,
當a∈(0,1]時,g(t)=at2+2t+1的定義域為(-∞,
-1-
1-a
a
)∪(
-1+
1-a
a
,+∞)
;
(注:定義域不唯一)(13分)
(3)設函數(shù)f(x)的定義域為D,值域為B,函數(shù)g(t)的定義域為D1,值域為B1,則x=g(t)是f(x)的一個等值域變換的充分非必要條件是“D=B1”.(15分)
條件的不必要性的一個例子是.f(x)=x2,D=R,B=[0,+∞)g(t)=2t-1,D1=R,B1=(-1,+∞)
此時D?B1,但f(g(t))=(2t-1)2的值域仍為B=[0,+∞),
即g(t)=2t-1(x∈R)是f(x)=x2(x∈R)的一個等值域變換.(18分)
(反例不唯一)
點評:本題是新定義的類型,解題時注意認真分析題意,準確理解把握并運用新定義解題.
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3
2
)與b=f(
15
2
)的大小關(guān)系為
a>b
a>b

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1
4
]
時,f(x)≥2x恒成立.則f(
3
7
)+f(
5
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)
=
1
1

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