Question

已知區(qū)域D_n：

x＞0 y≥0 y≤-2nx+6n

（n∈N^*）內的整點（橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點）的個數(shù)為a_n，則

9

a1a2

+

9

a2a3

+…+

9

a8a9

+

9

a9a10

=（　　）

• A、

  10

  21

• B、

  20

  21

• C、

  1

  7

• D、

  2

  7

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,簡單線性規(guī)劃的應用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由不等式組得0＜x≤3，則平面區(qū)域為D_n內的整點為點（3，0）、直線y=-2n（x-3）與x=1和x=2上，求出a₁的值，由直線y=-2n（x-3）與x=1和x=2交點縱坐標分別為y₁=4n和y₂=2n，在x=1和x=2上的整點個數(shù)分別為4n+1和2n+1，得到數(shù)列的通項公式，判斷出數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，利用裂項相消法求式子的和．

解答： 解：根據題意，由x＞0，y≥0，且y≤-2nx+6n，
得-2n（x-3）≥y≥0，即0＜x≤3，
所以平面區(qū)域為D_n內的整點為：
點（3，0）、以及直線y=-2n（x-3）與直線x=1和x=2的交點，
當n=1時，直線y=-2n（x-3）=-2x+6，
當x=1時，y=4；當x=2時，y=2，從而可得a₁=9，
由于平面區(qū)域為D_n內的整點為點（3，0）與在直線x=1和x=2上，
且直線y=-2n（x-3）與直線x=1和x=2交點縱坐標分別為y₁=4n和y₂=2n，
所以D_n內在直線x=1和x=2上的整點個數(shù)分別為4n+1和2n+1，
則a_n=4n+1+2n+1+1=6n+3              
所以a_n+1-a_n=（6n+0）-（6n+3）=6，
即數(shù)列{a_n}是以9為首項，6為公差等差數(shù)列，
所以a_n=9+（n-1）×6=6n+3，
則

1

anan+1

=

1

(6n+3)(6n+9)

=

1

6

(

1

6n+3

-

1

6n+9

)，
所以

9

a1a2

+

9

a2a3

+…+

9

a8a9

+

9

a9a10

=

3

2

[（

1

9

-

1

15

）+（

1

15

-

1

21

）+…+（

1

57

-

1

63

）]
=

3

2

(

1

9

-

1

63

)=

1

7

，
故選：C．

點評：本題考查線性規(guī)劃，裂項相消法求數(shù)列的和，求數(shù)列的前n項和，首先要求出數(shù)列的通項，利用通項的特點選擇合適的求和方法，考查學生分析解決問題的能力．