Question

設(shè)集合W是滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列{a_n}的集合：①， ②.其中，是與無(wú)關(guān)的常數(shù).

 （Ⅰ）若{}是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，，，證明：;

 （Ⅱ）設(shè)數(shù)列{}的通項(xiàng)為，且，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且.證明.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）M≥7（Ⅲ）見(jiàn)解析

【解析】解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{}的公差是d，則，解得，

所以          (2分)

由=－1＜0

得適合條件①；

又所以當(dāng)n=4或5時(shí)，取得最大值20，即≤20，適合條件②

綜上，                  （4分）

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111915373073828880/SYS201211191538137695882673_DA.files/image010.png">,所以當(dāng)n≥3時(shí)，，此時(shí)數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減；當(dāng)n=1，2時(shí)，，即b₁＜b₂＜b₃，因此數(shù)列{b_n}中的最大項(xiàng)是b₃=7

所以M≥7               （8分）

（Ⅲ） 假設(shè)存在正整數(shù)k，使得成立

由數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，可得，即

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111915373073828880/SYS201211191538137695882673_DA.files/image017.png">，所以

由

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111915373073828880/SYS201211191538137695882673_DA.files/image020.png">

……………………依次類(lèi)推，可得

設(shè)

這顯然與數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正整數(shù)矛盾！

所以假設(shè)不成立，即對(duì)于任意n∈N^*,都有成立.          ( 14分)