Question

如圖：已知A，B是圓x²+y²=4與x軸的交點(diǎn)，P為直線l：x=4上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB與圓x²+y²=4的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N．
（1）若P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，6），求直線MN的方程；
（2）求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）直線PA方程為y=x+2，由 解得M（0，2），…（2分）
直線PB的方程 y=3x-6，由 解得 N（，-），…（4分）
用兩點(diǎn)式求得MN的方程，并化簡(jiǎn)可得 y=-2x+2．…（6分）
（2）設(shè)P（4，t），則直線PA的方程為 y=（x+2），直線PB的方程為 y=（x-2）．
由 得 M（ ，），同理 N（ ，）． …（10分）
直線MN的斜率 k==…（12分）
直線MN的方程為 y=（x-）-，
化簡(jiǎn)得：y= x-． …（14分）
所以直線MN過(guò)定點(diǎn)（1，0）．…（16分）
分析：（1）直線PA方程為y=x+2，由 解得M（0，2），直線PB的方程 y=3x-6，由 解得 N（，-），用兩點(diǎn)式求得MN的方程．
（2）設(shè)P（4，t），則直線PA的方程為 y=（x+2），直線PB的方程為 y=（x-2），解方程組求得M、N的坐標(biāo)，從而得到MN的方程為y= x-，顯然過(guò)定點(diǎn)（1，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，求直線的方程，求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題．