Question

【題目】若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)的極值；

（3）若關(guān)于x的方程有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數(shù)的極大值為：，函數(shù)的極小值為；（3）.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)題意結(jié)合原函數(shù)的解析式和導(dǎo)函數(shù)的解析式進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)（1）所求的導(dǎo)函數(shù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后根據(jù)極值的定義進(jìn)行求解即可；

（3）把關(guān)于x的方程有三個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，根據(jù)（2）畫出函數(shù)的圖象和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

（1），因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)有極值，所以有；

（2）由（1）可知；，令，得，

當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，其值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，其值為，因此函數(shù)的極大值為：，函數(shù)的極小值為；

（3）因?yàn)殛P(guān)于x的方程有三個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象和的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)的圖象和的圖象如下所示：

因此由（2）所求的極值可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象和的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程有三個(gè)零點(diǎn).