關(guān)于函數(shù)f(x)=x+
1
x
的性質(zhì)，有如下說(shuō)法：
①函數(shù)f（x）的最小值為3；
②函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）．
其中所有正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（　　）
分析：利用雙鉤函數(shù)f（x）=x+
1
x
的奇偶性、單調(diào)性與最值對(duì)①②③三個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．
解答：解：∵f（x）=x+
1
x
，
∴f（1）=2，故①錯(cuò)誤；
又f（-x）=-x-
1
x
=-（x+
1
x
）=-f（x），
∴f（x）=x+
1
x
為奇函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
∵f′（x）=1-
1
x2
=
x2-1
x2
=
(x+1)(x-1)
x2
，
令f′（x）＞0，得x＜-1或x＞1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），即③正確．
綜上所述，所有正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為1個(gè)．
故選：C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查雙鉤函數(shù)f（x）=x+
1
x
的奇偶性、單調(diào)性與最值，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線(xiàn)x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱(chēng)直線(xiàn)y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線(xiàn)”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線(xiàn)”？若存在，求出“分界線(xiàn)”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個(gè)不同的根．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列關(guān)于函數(shù)f(x)，x∈[a，b]的命題中，正確的是(　　)

A．若x0∈[a，b]且滿(mǎn)足f(x0)＝0，則x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)

B．若x0是f(x)在[a，b]上的零點(diǎn)，則可以用二分法求x0的近似值

C．函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)

D．用二分法求方程的根時(shí)，得到的都是近似解

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線(xiàn)x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱(chēng)直線(xiàn)y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線(xiàn)”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線(xiàn)”？若存在，求出“分界線(xiàn)”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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