Question

已知函數
（1）當時，討論函數的單調性：
（2）若函數的圖像上存在不同兩點，設線段的中點為，使得在點處的切線與直線平行或重合，則說函數是“中值平衡函數”，切線叫做函數的“中值平衡切線”。試判斷函數是否是“中值平衡函數”？若是，判斷函數的“中值平衡切線”的條數；若不是，說明理由.

Answer 1

（1）函數的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是；（2）當時，函數是“中值平衡函數”且函數的“中值平衡切線”有無數條，當時，函數不是“中值平衡函數”.

試題分析：(1)對進行討論，求導數，令導數大于0或小于0，求單調遞增或遞減區(qū)間；（2）先假設它是“中值平衡函數”，設出兩點，討論和的情況，看是否符合題意.
試題解析：（1）              1分
當即時，，函數在定義域上是增函數；  2分
當即時,由得到或，  4分
所以：當時，函數的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是；                            5分
當即時，由得到：，
所以:當時,函數的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是；  7分
（2）若函數是“中值平衡函數”，則存在（）使得
即，
即，（*）                     4分
當時，（*）對任意的都成立，所以函數是“中值平衡函數”，且函數的“中值平衡切線”有無數條；                   8分
當時，設，則方程在區(qū)間上有解，      10分
記函數，則，       12分
所以當時，，即方程在區(qū)間上無解，
即函數不是“中值平衡函數”.                     14分