記函數(shù)數(shù)學公式的導函數(shù)為f′n(x),函數(shù)g(x)=fn(x)-nx.
(Ⅰ)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若實數(shù)x0和正數(shù)k滿足:數(shù)學公式,求證:0<x0<k.

解:(Ⅰ)由已知得g(x)=(1+x)n-1-nx,所以g′(x)=n[(1+x)n-1-1].…(2分)
①當n≥2且n為偶數(shù)時,n-1是奇數(shù),由g'(x)>0得x>0;由g'(x)<0得x<0.
所以g(x)的遞減區(qū)間為(-∞,0),遞增區(qū)間為(0,+∞),極小值為g(0)=0.…(5分)
②當n≥2且n為奇數(shù)時,n-1是偶數(shù),
由g'(x)>0得x<-2或x>0;由g'(x)<0得-2<x<0.
所以g(x)的遞減區(qū)間為(-2,0),遞增區(qū)間為(-∞,-2)和(0,+∞),
此時g(x)的極大值為g(-2)=2n-2,極小值為g(0)=0.…(8分)
(Ⅱ)由,
所以1+x0=,x0=…(10分)
顯然分母(n+1)[(1+k)n-1]>0,設分子為h(k)=(nk-1)(1+k)n+1(k>0)
則h'(k)=n(1+k)n+n(1+k)n-1(nk-1)=n(n+1)k(1+k)n-1>0,
所以h(k)是(0,+∞)上的增函數(shù),所以h(k)>h(0)=0,故x0>0…(12分)
又x0-k=,由(Ⅰ)知,g(x)=(1+x)n-1-nx是(0,+∞)上的增函數(shù),
故當x>0時,g(x)>g(0)=0,即(1+x)n>1+nx,所以1+k(n+1)>(1+k)n+1
所以x0-k<0,從而x0<k.綜上,可知0<x0<k.…(14分)
分析:(Ⅰ)由g(x)=(1+x)n-1-nx,可求得g′(x)=n[(1+x)n-1-1],分n(n≥2)為偶數(shù)與n為奇數(shù)討論導數(shù)的符號,即可求得其單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)由可求得x0=,設分子為h(k)=(nk-1)(1+k)n+1(k>0),可分析得到h'(k)>0,從而h(k)>h(0)=0,求得x0>0;
進一步可求得x0-k=<0,從而得證0<x0<k.
點評:本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,突出轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的運用,突出構(gòu)造函數(shù)的思想的應用,熟練掌握導數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性與極值與最值是解決這類問題的關(guān)鍵,屬于難題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+2.
(1)若f(x)在x=1時,有極值-1,求b、c的值;
(2)當b為非零實數(shù)時,f(x)是否存在與直線(b2-c)x+y+1=0平行的切線,如果存在,求出切線的方程,如果不存在,說明理由;
(3)設函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),記函數(shù)|f′(x)|(-1≤x≤1)的最大值為M,求證:M≥
32

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+2.
(1)若f(x)在x=1時,有極值-1,求b、c的值;
(2)當b為非零實數(shù)時,f(x)是否存在與直線(b2-c)x+y+1=0平行的切線,如果存在,求出切線的方程,如果不存在,說明理由;
(3)設函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),記函數(shù)|f′(x)|(-1≤x≤1)的最大值為M,求證:M≥數(shù)學公式

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:廣東省月考題 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+2.
(1)若f(x)在x=1時,有極值﹣1,求b、c的值;
(2)當b為非零實數(shù)時,f(x)是否存在與直線(b2﹣c)x+y+1=0平行的切線,如果存在,求出切線的方程,如果不存在,說明理由;
(3)設函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),記函數(shù)|f′(x)|(﹣1≤x≤1)的最大值為M,求證:M≥ .  

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2012年廣東省佛山市高考數(shù)學二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

記函數(shù)的導函數(shù)為f′n(x),函數(shù)g(x)=fn(x)-nx.
(Ⅰ)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若實數(shù)x和正數(shù)k滿足:,求證:0<x<k.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案